Завдання.Визначити напругу в сталевих стрижнях, що підтримують абсолютно тверду балку. Матеріал - сталь Ст3, α = 60 °, [σ] = 160МПа.

1. Схему викреслюємо у масштабі. Нумеруємо стрижні.

У шарнірно-нерухомій опорі А виникають реакції R А і Н А . У стрижнях 1 і 2 виникають зусилля N 1 і N 2 . Застосуємо. Замкненим розрізом виріжемо середнючастина системи. Жорстку балку покажемо схематично - лінією, зусилля N 1 і N 2 направимо від перерізу.

Складаємо рівняння рівноваги

Кількість невідомих перевищуєкількість рівнянь статики на 1 . Отже, система , і її вирішення знадобиться одне додаткове рівняння. Щоб скласти додатковерівняння, слід розглянути схему деформації системи. Шарнірно-нерухома опора А залишається на місці, а стрижні деформуються під дією сили.

Схема деформацій

За схемою деформацій складемо умова спільності деформаційз розгляду подоби трикутників АСВ 1 і АВВ 1 . З подоби трикутників АВВ 1 і АСВ 1 запишемо співвідношення:

, де ВВ 1 =Δ ℓ 1 (подовження першого стрижня)

Тепер висловимо СС 1 через деформацію другогострижня. Великий фрагмент схеми.

З малюнка видно, що СС 2 = СС 1 · cos(90º- α )= СС 1 · sinα.

Але СС 2 = Δ ℓ 2 тоді Δ ℓ 2 = СС 1 · sinα , звідки:

Перетворимо умова спільності деформації(4 в рівняння спільності деформаціїза допомогою . При цьому обов'язково враховуємо характер деформацій(укорочення записуємо зі знаком «-», подовження зі знаком «+»).

Тоді буде:

Скорочуємо обидві частини на Е , підставляємо числові значення та виражаємо N 1 через N 2

Підставимо співвідношення (6) у рівняння (3) , звідки знайдемо:

N 1 = 7,12 кН (розтягнуть),

N 2 = -20,35 кН (стиснутий).

Визначимо напругиу стрижнях.

Розрахунок бруса із зазором. Для статично невизначеного сталевого ступінчастого бруса побудувати епюри поздовжніх сил, нормальних напруг, переміщень. Перевірити міцність бруса. До навантаження між верхнім кінцем і опорою мав місце зазор Δ=0,1 мм. Матеріал - сталь Ст 3, модуль поздовжньої пружності Е = 2 · 10 5 МПа, допустима напруга [σ] = 160МПа.

1. Після навантаження зазор закриєтьсяі реакціївиникнуть і в нижній, і в верхнійопорі. Покажемо їх довільно, це реакції R A і R В . Складемо рівняння статики.

∑у=0 R A- F 1 + F 2 - R В=0

У рівнянні 2 невідомих, а рівняння одне, значить завдання 1 раз статично невизначена, і для її вирішення потрібно 1 додаткове рівняння.

Це рівняння спільності деформацій. В даному випадку спільність деформацій ділянок бруса полягає в тому, що зміна довжини бруса (подовження) не може перевершити величини зазору, тобто. Δ ℓ =Δ , це умова спільності деформації.

1. Тепер розіб'ємо брус на ділянки і проведемо на них перерізи – їх 4 за кількістю характернихділянок. Кожен перетин розглядаємо окремо, рухаючись в одному напрямку- Від нижньої опори вгору. У кожному перерізі виражаємо силу N через невідому реакцію. Направляємо Nвід перерізу.

Випишемо окремо значення поздовжніх сил у перерізах:

N 1 = -R А

N 2 = 120 -R А

N 3 = 120 -R А

N 4 = 30-R А

3. Повернемося до складання умови спільності деформації. Маємо 4 ділянки, значить

Δ ℓ 1 + Δ ℓ 2 + Δ ℓ 3 + Δ ℓ 4 = Δ (величина зазору).

Використовуючи формулу длявизначення абсолютної деформації складемо рівняння спільності деформацій, - це саме те додатковерівняння, що необхідне вирішення завдання.

Спробуємо спроститирівняння. Пам'ятаємо, що величина зазору Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м

Е- модуль пружності, Е= 2 · 10 5 МПа = 2 · 10 8 кПа.

Підставляємо замість N їх значення, записані через опорну реакцію R А .

4. Обчислюємо Nі будуємо епюру поздовжніх сил.

N 1 =-R А =-47,5кН

N 2 =120 -R А = 72,5кН

N 3 =120 -R А = 72,5кН

N 4 =30-R А =-17,5 кН.

5. Визначаємо нормальні напруження σза формулою та будуємо їх епюри

Будуємо епюрунормальних напруг.

Перевіряємо міцність.

σ max= 90,63 МПа< [σ]=160МПа.

Міцність забезпечена.

1. Обчислюємо переміщення, використовуючи формулу для деформацій.

Ідемо від стіни Адо зазору.

Отримали величину ω 4 , рівну зазоруце є перевіркою правильності визначення переміщень.

Будуємо епюру переміщень.

На сталевий стрижень діє поздовжня сила Р та власна вага (γ = 78 кН/м3). Знайти переміщення перерізу 1-1.

Дано: Е = 2 · 10 5 МПа, А = 11 см 2, а = 3,0 м, = 3,0 м, з = 1,3 м, Р = 2 кН.

Переміщення перерізу 1-1складатиметься з переміщення від дії сили Р,від дії власної ваги вище перерізуі від дії власної ваги нижче перетину. Переміщення від дії сили Рдорівнюватиме подовженню ділянки стрижня довжиною в+а,розташованого вище перерізу 1 -1. Навантаження Р викликає подовження тільки ділянки а,бо тільки на ньому є поздовжня силавід цього навантаження. Згідно закону Гукаподовження від дії сили Р дорівнюватиме: Визначимо подовження від власної ваги стрижня нижче за переріз 1 –1.

Позначимо його як. Воно буде викликатись власною вагою ділянки зі вагою стрижня на ділянці а+в

Визначимо подовження від власної ваги стрижня вище за переріз 1 –1.

Позначимо його як Воно буде викликатись власною вагою ділянки а+в

Тоді повне переміщення перерізу 1-1:

Тобто, перетин 1-1 опуститься на 0,022 мм.

Абсолютно жорсткий брус спирається на шарнірно нерухому опору та прикріплений до двох стрижнів за допомогою шарнірів. Потрібно: 1) знайти зусилля та напруги у стрижнях, виразивши їх через силу Q; 2) Знайти допустиме навантаження Q доп, прирівнявши більше з напруг у двох стрижнях до напруги, що допускається ; 3) знайти граничну вантажопідйомність системи, якщо межа плинності 4) порівняти обидві величини, отримані при розрахунку за допустимими напругами та граничними навантаженнями. Розміри: а=2,1 м, =3,0 м, з=1,8 м, площа поперечного перерізу А=20 см 2

Ця система один раз статично невизначена. Для розкриття статичної невизначеності необхідно вирішити спільно рівняння рівноваги та рівняння спільності деформацій стрижнів.

(1)-рівняння рівноваги

Складемо деформаційну схему- Див. Рис. Тоді із схеми: (2)

за закону Гукамаємо:

Довжини стрижнів:Тоді отримаємо:

Підставимо отримане співвідношення рівняння (1):

Визначаємо напругау стрижнях:

У граничному стані:Підставимо отримані співвідношення у рівняння (1):

При порівнянні бачимо збільшення навантаження:

Колона, що складається із сталевого стрижня та мідної труби, стискається силою Р. Довжина колони ℓ. Виразити зусилля та напруги, що виникають у сталевому стрижні та мідній трубі.
Проведемо перетин 1 – 1 та розглянемо рівновагу відсіченої частини

Складемо рівняння статики: N C + N M - P = 0, N C + N M = P (1)

Завдання статично невизначене. Рівняння спільності деформаціїзапишемо з умови, що подовження сталевого стрижня та мідної труби однакові:(2) абоСкоротимо обидві частини на довжину стрижня та висловимо зусилля в мідній трубі через зусилля в сталевому стрижні:

(3) Підставимо знайдене значення рівняння (1), отримаємо:

При спільній роботі завжди сильніше напружений елемент із матеріалу з великим модулем пружності. При Е С = 2 · 10 5 МПа, Е М = 1 · 10 5 МПа:

Для колони визначити напруги на всіх ділянках. Після застосування сили Р зазор закривається, Р = 200 кН, Е = 2 . 10 5 МПа, А = 25 см 2 Після застосування сили Р виникнуть зусилля у затисканнях. Позначимо їх як C та Ст.

Складемо рівняння статики: ∑y = 0; С + В - Р = 0; (1)

Додаткове рівняння сумісності деформацій: ∆ℓ 1 +∆ℓ 2 =0,3 мм (2);

Щоб знайти абсолютну деформацію, необхідно знати поздовжню силуна ділянці. на першимділянці поздовжня сила дорівнює З, на другомурізниці (С-Р). Підставимо ці значення висловлювання абсолютних деформацій: (3)

Підставляємо вираз (3 ) у вираз ( 2) і знаходимо: З = 150 кН, а з (1) B = 50 кН .

Тоді напругина ділянках:

На трьох сталевих стрижнях підвішено жорстку балку; стрижень 2 виконаний коротше за проектний. Визначити напругу в стрижнях після складання системи. Дано:

Після завершення складання в даній системі жорстка балка повернетьсяі займе нове становище.

Крапки З, Dі Доперемістяться в положення З 1 , D 1і До 1

Відповідно до картини деформування СС 1 =Δℓ 1, DD 1 =Δ−D 1 D 2 = Δ−Δℓ 2, KK 1 = Δℓ 3 ,при цьому стрижні 1 та 3відчувають стиск, а стрижень 2 – розтягування.

Відповідно до схеми деформування рівняння рівновагинабуде вигляду:

Додаткові рівняння можна отримати на основі аналізу схеми деформування;з подоби трикутників ВСС 1і BDD 1, трикутників ВСС 1і BKK 1слід:

Згідно закону Гука абсолютні деформації:

Тоді додаткові рівняння запишуться так: Вирішуючи спільно цю систему отриманих додаткових рівнянь та рівняння рівноваги, отримаємо:

N 1 =14,3 кН (стрижень стиснутий), N 2 =71,5 кН (стрижень розтягнутий), N 3 =42,9 кН (стрижень стиснутий).

Таким чином, шукані напруги у стрижняхмають значення:
Завдання вирішено.

Ступінчастий мідний стрижень нагрівається від температури t Н =20ºС до t К =50ºС. Перевірити міцність стрижня. Дано:

Складемо рівняння рівноваги стрижняу припущенні заміни зовнішніх зв'язків реактивними силами: Як бачимо, система статично невизначена, і її вирішення потрібно додаткове рівняння.

Рівняння спільності деформацій випливає з умови, що переміщення зовнішніх зв'язків дорівнюють 0 - W В = 0 або W К = 0. Таким чином:

Звідки:

В результаті R B = 20723Н.

Нормальні сили та напругина ділянках:

Згідно з результатами розрахунків σ max =│69,1│MПа, при цьому σ max< σ adm , (69,1<80). Отже, умова міцності стрижня виконується.

Розрахунок стрижня із зазором. Для сталевого ступінчастого стрижня за наявності зазору між нижнім торцем і опорою потрібно: побудувати епюри нормальних сил і напруг, переміщень; перевірити міцність. Дано:

Складемо рівняння рівновагистрижня:

В ньому дваневідомих, система один раз статично невизначенапотрібно додаткове рівняння – рівняння деформацій.

Додаткове рівняння можна записати з умови закриття зазору у процесі деформування стрижня:

Для ділянок, що розглядаються, їх абсолютні деформації:

Визначимо нормальні (поздовжні) сили, Ідемо від стіни до зазору:

Підставимо всі знайдені значення в додаткове рівняння:

Після підстановки вихідних даних та скорочень:

З рівняння рівновагиотримуємо:

Таким чином, R = 40,74 кН, R К = 9,26 кН.

Розрахунок нормальних сил:
Будуємо епюру N

Розрахунок нормальних напруг:
Будуємо епюру нормальних напруг

Розрахунок переміщеньхарактерних перерізів.

Приймається правило знаків для переміщень: вниз – позитивні, нагору – негативні.
Будуємо епюру переміщень.

Дана статично невизначена стрижнева система (деталь ВСD - жорстка). Потрібно підібрати площі поперечних перерізів стрижнів 1 та 2.

Позначимо зусилляу стрижнях 1 та 2 відповідно N 1 та N 2.

Покажемо схему системи із зусиллями N 1 та N 2

Складемо для даної системи рівняння рівноваги,виключаючи з розгляду реактивні сили в опорі Дане рівняння містить два невідомі: N 1 і N 2 .Отже, система один раз статично невизначена,і для її вирішення потрібно додаткове рівняння.Це рівняння деформацій.Покажемо систему в деформований станпід дією навантаження :

З аналізу системи у деформованому станівипливає, що:

Оскільки , і з огляду на те, що можна записати: Останній запис і є необхідним рівняння деформацій.

Запишемо значення абсолютних деформацій стрижнів:

Тоді з урахуванням вихідних даних додаткове рівняннянабуде вигляду:

Приймаючи до уваги рівняння рівноваги, Отримаємо систему:

З розв'язання цієї системи рівнянь випливає:

N 1 =48кН (стрижень розтягнутий), N 2 =-36,31кН (стрижень стиснутий).

Згідно умові міцності стрижня 1:

тоді з урахуванням умови А 1 = 1,5А 2за завданням, отримуємо

Згідно умові міцності стрижня 2:Тоді

Остаточно приймаємо:

Методичні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи для студентів спеціальностей 2903, 2906,2907, 2908, 2910

Казань, 2006

Упорядник: Р.А.Каюмов

УДК 539.3

Розрахунок статично невизначеної стрижневої системи, що містить абсолютно жорсткий елемент; Методичні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи для студентів спеціальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / КазДАСУ; сост. Р.А. Каюмов. Казань, 2005, 24 с.

У цих методичних вказівках коротко викладається методика розрахунку найпростіших фермових конструкцій з жорстким елементом і наводиться приклад розрахунку.

Ілл.6.

Рецензент канд.фіз.-мат. наук, проф. Кафедри теоретичної механіки КДАСУ Шигабутдінов Ф.Г.

ã Казанський державний архітектурно-будівельний університет

ЗАВДАННЯ № 3

РОЗРАХУНОК СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧНОЇ ШАРНІРНО-стрижневої системи

Для заданої шарнірно-стрижневої системи (див.схему), що складається з абсолютно жорсткого бруса та пружних стрижнів із заданими співвідношеннями площ поперечних перерізів, потрібно:

1. Встановити ступінь статичної невизначеності.

2. Знайти зусилля у стрижнях.

3. Записати умови міцності для стрижнів від силових впливів та провести підбір поперечних перерізів стрижнів з урахуванням заданих співвідношень площ. Матеріал Ст-3, межу плинності прийняти рівним 240 МПа = 24 кН/см 2 коефіцієнт запасу міцності k = 1,5.

4. Знайти напруги у стрижнях від неточності виготовлення стрижнів d 1 = d 2 = d 3 = (Див. табл.3). Якщо має знак плюс, то, отже, стрижень зроблений довшим; якщо мінус – коротше.

5. Знайти напруги у стрижнях від зміни температури у стрижнях на Dt° (див. табл.3). Коефіцієнт лінійного розширення для сталі 1/град.

6. Зробити перевірку міцності системи при різних варіантах силових та несилових впливів: 1) конструкція зібрана, ще не навантажена, але стався перепад температур; 2) випадок, коли немає перепаду температур, а конструкція зібрана та навантажена. 3) випадок, коли конструкцію зібрано, навантажено і стався перепад температур.

7. Визначити граничну вантажопідйомність системи та справжній коефіцієнт запасу міцності, прийнявши постійне співвідношення між і .

Завдання виконується у повному обсязі студентами спеціальностей ПГС та АТ. Студенти інших спеціальностей виконують розрахунок системи тільки на зовнішнє навантаження за напругою, що допускається, і за допустимим навантаженням, виключивши стрижень 3.

Вихідні дані для виконання розрахунково-графічної роботи вибираються за шифром, що видається викладачем.

Схеми до завдання №3

таблиця 3

	А	Б	У	Г	Б	в	У
, кН	, кн/м	, м	, м	, м	, м	, м		, мм
									0.3	3/2
								-30	-0.4	1/2
									0.5		3/2
								-25	-0.6	3/4	3/2
									0.7	5/4	1/2
								-35	-0.4	1/2	4/5
									0.5	2/3	1/2
									-0.7	1/2	4/5
								-20	-0.3	3/2	2/3
									0.6	2/3	5/4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Розглядається шарнірно-стрижнева система (рис.1), що складається з жорсткого бруса і стрижнів, що деформуються, виготовлених із заданим співвідношенням площ поперечних перерізів, яке вказується в заданні. Відомі проектні навантаження F , q ; розміри конструкції h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3; проектні коливання температури: D t 1 - у першому стрижні, D t 2 - у другому, D t 3 - у третьому; неточності виготовлення стрижнів, а саме d 1 - на відміну від проектної довжини в першому стрижні, d 2 – у другому, d 3 – у третьому. Відомі механічні характеристики матеріалу: модуль пружності Е = 2×10 4 кн/см 2 межа плинності s т= 24 кн/см 2 коефіцієнт температурного розширення a=125×10 -7 1/Град. Коефіцієнт запасу міцності k для цієї конструкції приймається рівним 1,5.

Необхідно вирішити 3 завдання:

1. Здійснити підбір перерізів стрижнів для виготовлення цієї системи з умови міцності цих стрижнів за допустимими напругами при проектних навантаженнях.

2. Зробити висновок про допустимість проектних коливань температури та неточностей виготовлення стрижнів.

3. Знайти граничну вантажопідйомність конструкції, допустимі навантаження та справжній запас міцності.

Таким чином, робота складається з проектувального розрахунку, перевірочного розрахунку, розрахунку граничних навантажень для системи.

У РГР мають бути наведені 3 малюнки (виконаних у масштабі): вихідна схема стрижневої системи, силова схема та кінематична схема деформування конструкції.

2. Метод перерізів.

3. Закон Гука.

4. Подовження зміни температури.

5. Межа міцності, допустима напруга, умова міцності.

6. Пластичний перебіг, межа плинності.

7. Статична невизначеність.

8. Умова спільності деформацій.

9. Розрахунок за напругами, що допускаються.

10. Розрахунок з теорії граничної рівноваги.

ЗАГАЛЬНИЙ ПЛАН РОЗРАХУНКУ КОНСТРУКЦІЇ

Спочатку конструкцію звільняють від зв'язків, замінюючи їх реакціями. Методом перерізів вводять у розгляд внутрішні поздовжні сили (нормальні сили), що у стрижнях. У цьому скеровувати їх треба від перерізу, тобто. умовно вважати стрижні розтягнутими. Визначити реакції та поздовжні сили із рівнянь рівноваги не вдається, т.к. у плоскій задачі статики можна скласти 3 незалежні рівняння рівноваги, число ж невідомих силових факторів (реакцій і поздовжніх сил) більше трьох. Тому необхідно скласти додаткові рівняння, що випливають із припущення про деформованість стрижнів (рівняння спільності деформацій, що пов'язують подовження стрижнів між собою). Випливають вони з геометричних міркувань. При цьому використовується припущення про деформацію. З іншого боку, необхідно врахувати таке правило символів. Повну різницю між проектною довжиною стрижня l і кінцевою справжньою довжиною lкінпозначають через D l . Отже, якщо стрижень подовжується, то , якщо коротшає, то .

Як видно з рис.2, зміна довжини стрижня D l складається з подовження D l (N) , викликаного зусиллям осьового розтягування N , подовження D l(t), викликаного зміною температури, та неточності виготовлення d.

Якщо температура знижується, то D t < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d< 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:

Оскільки подовження виражаються через поздовжні сили за формулами (1), то із рівнянь спільності випливають співвідношення, що зв'язують між собою шукані зусилля. Тут і далі для спрощення запису використовуються такі позначення: поздовжня сила та напруга у стрижні з номером i .

У аналізованої РГР не потрібно шукати реакції. Тому із 3-х рівнянь рівноваги досить залишити одне – умова рівності нулю моментів всіх зовнішніх і внутрішніх сил щодо осі, що проходить через центр шарніру D (рис.1). Рішення отриманої системи (рівнянь рівноваги та спільності деформацій) дозволяє знайти зусилля у стрижнях.

Далі проводяться проектувальний (завдання 1) та перевірочний (завдання 2) розрахунки методом допустимих напруг. За небезпечну напругу приймається межа плинності s т. Відповідно до методу допустимих напруг конструкція вважається що вийшла з ладу,якщо напруга досягла небезпечного значення хоча у одному стрижні, тобто. виявився зруйнованим хоча б одинзі стрижнів:

Задля більшої безпеки конструкції потрібна наявність запасу міцності, тобто. має виконуватися умова міцностівиду

, (3)

де k - Коефіцієнт запасу, [ s] - допустима напруга.

Руйнування одного елемента конструкції не завжди означає втрату її експлуатаційних властивостей (тобто обвалення). Інші елементи можуть взяти на себе навантаження або його частину, яку мав нести зруйнований елемент. Це міркування використовується в задачі 3, розв'язуваної методом граничної рівноваги,званого ще методом допустимих навантажень.

У постановці завдання передбачається, що сили Р і Q збільшуються пропорційно ( Р / Q = const), площі перерізів стрижнів відомі з розв'язання задачі 1, матеріал стрижнів - пружно-ідеально-пластичний. При збільшенні навантаження спочатку потече один стрижень, напруга в ньому при подальшій деформації не збільшуватиметься і по модулю залишиться рівним межі плинності. s т(див. рис.3). Подальше збільшення навантажень призведе до того, що спочатку у другому, та був у третьому стрижнях почнеться пластичне протягом, тобто. напруги досягнуть межі плинності. Очевидно, що якими б не були на початку процесу монтажні або температурні напруги, нарешті настає момент, коли у всіх стрижнях напруги досягнуть межі плинності (оскільки вони не можуть прийняти великих значень, згідно з діаграмою деформування на рис.3). Досягнуті значення сил F = Fпрі Q = Qпрназиваються граничними, т.к. їхнє збільшення неможливо, а система почне необмежено деформуватися. Оскільки зусилля N i у граничному стані відомі (т.к. виражаються через напруги), то з рівняння рівноваги визначається Fпр. З умови безпеки навантаження знаходяться допустимі навантаження

Як видно з міркувань при вирішенні задачі 3 наявність змін температури або неточностей виготовлення стрижнів не зменшує вантажопідйомності конструкції, якщо стрижні виготовлені з пружно-ідеально-пластичного матеріалу.

ПРИМІТКИ

1. Викладач може конкретизувати завдання підбору стрижнів, зажадавши використовувати сортамент прокатної сталі, наприклад, підібрати складний переріз із куточків за таблицями сортаменту (див. приклад розрахунку).

2. При обчисленнях достатньо залишати 3 цифри.

3. При доборі розмірів стрижнів допускається 5% навантаження.

Приклад розрахунку

Нехай дана шарнірно-стрижнева система (рис.4). Відомо що

E = 2×10 4 кн/см 2 sт = 24 кн/см 2 a = 125×10 -7 1/град. (5)

Для вирішення більшості статично невизначених задач, що зустрічаються на практиці, зазначені прийоми виявляються, однак, далеко не достатніми. Тому необхідно зупинитися більш загальних методах розкриття статичної невизначеності з прикладу стрижневих систем.

Під стрижневою системоюу широкому значенні слова розуміється будь-яка конструкція, що складається з елементів, що мають форму бруса. Якщо елементи конструкції працюють в основному на розтяг або стиснення, то стрижнева система називається фермою(Рис. 1).

Рис.1.Розрахункова схема форми

Ферма складається з прямих стрижнів, що утворюють трикутники. Для форми характерний додаток зовнішніх сил у вузлах.

Якщо елементи стрижневої системи працюють переважно на вигин чи кручення, система називається рамою (рис. 2).

Особливу, найпростішу на дослідження групу стрижневих систем становлять плоскісистеми. У плоскій рами або ферми осі всіх складових елементів до та після деформації розташовані в одній площині. У цій же площині діють всі зовнішні сили, включаючи реакції опор (див. рис. 2, а).

Поряд із плоскими розглядаються так звані плоско-просторовісистеми. Для такого роду систем осі складових елементів у недеформованому стані розташовуються, як і плоских систем, в одній площині. Зовнішні силові чинники діють у площинах, перпендикулярних до цієї площини (рис. 2, в). Стрижневі системи, що не належать до двох зазначених класів, називаються просторовими(Рис.2, в).

Рами та ферми прийнято розділяти на статично визначніі статично невизначені. Під статично визначальною розуміється така кінематично незмінна система, для якої всі реакції опор можуть бути визначені за допомогою рівнянь рівноваги, а потім знайдених опорних реакціях методом перерізів можуть бути знайдені також і внутрішні силові фактори в будь-якому поперечному перерізі. Під статично невизначеною системою мається на увазі така, знову ж таки кінематично незмінна система, для якої визначення зовнішніх реакцій і внутрішніх силових факторів не може бути зроблено за допомогою методу перерізів і рівнянь рівноваги.

а) плоска; б) плоскопросторова. в) просторова

Рис.2.Розрахункові схеми рамних конструкцій:

Різниця між числом невідомих (реакцій опор і внутрішніх силових факторів) і числом незалежних рівнянь статики, які можуть бути складені для системи, що розглядається, носить назву ступеня або числа статичної невизначеності. Залежно від цього числа системи поділяються на один, два, три. nраз статично невизначені. Іноді кажуть, що ступінь статичної невизначеності дорівнює кількості додаткових зв'язків, накладених на систему. Зупинимося на цьому питанні докладніше.

Положення жорсткого бруса в просторі визначається шістьма незалежними координатами, інакше кажучи, жорсткий брус має шість ступенів свободи. На брус може бути накладено зв'язку, т. е. обмеження, що зумовлюють його певне становище у просторі. Найбільш простими зв'язками є такі, при яких повністю виключається те чи інше узагальнене переміщення деяких перерізів бруса. Накладення одного зв'язку знімає один ступінь свободи з бруса як із твердого цілого. Отже, якщо на вільний жорсткий брус накладено шість зв'язків, то становище його у просторі як жорсткого цілого буде, за деякими винятками, визначено повністю і система з механізму, що має шість ступенів свободи, перетворюється на кінематично незмінну систему. Те число зв'язків, у якому досягається кінематична незмінність, зветься необхідної кількості зв'язків. Будь-який зв'язок, накладений понад необхідні, називають додатковою. Число додаткових зв'язків дорівнює ступеню статичної невизначеності системи.

Зв'язки в рамах і стрижневих системах ділять зазвичай на зовнішні і зв'язки внутрішні, або взаємні. Під зовнішніми зв'язками розуміються умови, що накладаються абсолютні переміщення деяких точок системи.

а) зовнішній зв'язок; б) два зовнішні зв'язки; в) шість зовнішніх зв'язків у загальному випадку.

Рис.3.Схеми еквівалентних зв'язків

Якщо, наприклад, лівий кінець бруса (рис. 3, а) накладено умову, що забороняє вертикальне переміщення, кажуть, що в цій точці є один зовнішній зв'язок. Умовно вона зображується у вигляді двох шарнірів або ковзанки. Якщо заборонено як вертикальне, так і горизонтальне усунення, кажуть, що накладено два зовнішні зв'язки (рис. 3, б). Закладення в плоскій системі дає три зовнішні зв'язки. Просторове закладення відповідає шести зовнішнім зв'язкам (рис. 3, б). Зовнішні зв'язки часто, як згадувалося, ділять необхідні і додаткові. Наприклад, на рис. 4, аі бпоказано плоску раму, що має в першому випадку три зовнішні зв'язки, а в другому - п'ять зовнішніх зв'язків. Щоб визначити положення рами в площині як жорсткого цілого, необхідно накладення трьох зв'язків. Отже, у першому випадку рама має необхідні зовнішні зв'язки, а в другому, крім того, два додаткові зовнішні зв'язки.

а) три зовнішні зв'язки, б) п'ять зовнішніх зв'язків

Рис.4.Плоска рама

Під внутрішніми, чи взаємними, зв'язками розуміються обмеження, накладені на взаємні усунення елементів рами. Тут також можна говорити як про необхідні, так і про додаткові зв'язки. Так, наприклад, пласка рама, показана на рис. 5, амає необхідну кількість як зовнішніх, так і внутрішніх зв'язків між елементами. Це - кінематично незмінна система. Якщо будуть задані зовнішні сили, ми зможемо знайти реакції опор, так і внутрішні силові фактори в будь-якому поперечному перерізі рами. У тій самій рамі, показаній на рис. 5, б, додатково накладено два додаткові внутрішні зв'язки, що забороняють взаємне вертикальне та горизонтальне зміщення точок. Аі У. Система у разі двічі статично невизначена (іноді додають: «внутрішнім чином»).

У рамі рис. 4, аі бтакож є внутрішні додаткові зв'язки. Контур рами повністю замкнутий. Розрізаючи їх у будь-якому перерізі (рис.5 в), ми, не порушуючи кінематичної незмінності, отримуємо можливість при заданих силах знайти внутрішні силові чинники у кожному перерізі рами. Отже, розрізаючи замкнуту раму, ми знімаємо додаткові зв'язки, тобто. дозволяємо перерізам Аі Уповертатися та зміщуватися у двох напрямках один щодо одного. Узагальнюючи, можна сказати, що замкнутий плоский контур має три додаткові взаємні зв'язки-тричі статично невизначений. Таким чином, рама показана на рис. 4, а, Тричі статично невизначена. Рама показана на рис. 4, б, п'ять разів статично невизначена (тричі внутрішнім чином і двічі - зовнішнім).

а) кінематично незмінна, б) невизначена внутрішнім чином, в) зі зняттям додаткових зв'язків

Рис.5.Класифікаційні ознаки рам:

Розглянемо тепер кілька прикладів визначення ступеня статичної невизначеності стрижневих та рамних систем. На рис. 6 показано кілька рам. Послідовно розглянемо їх.

а) Рама має чотири додаткові зовнішні зв'язки та три взаємні зв'язки, тобто сім разів статично невизначена.

б) Вважаємо спочатку, що шарнір АВідсутнє. Тоді є два зовнішні та три внутрішні додаткові зв'язки. Система без шарніру Абула б п'ять разів статично невизначеною.

Шарнір Аналежить одночасно трьом стрижням. Його можна розглядати як два шарніри, що збіглися (рис. 7). Так як кожен шарнір знімає один зв'язок, тобто дозволяє поворот одного перерізу щодо іншого, можна сказати, що шарнір Азнімає два зв'язки. Система стає, таким чином, замість п'яти – три рази статично невизначеною.

Узагальнюючи сказане, можна дійти невтішного висновку, що шарнір знімає число зв'язків, на одиницю менше числа стрижнів, що сходяться в ньому. В даному випадку в шарнірі Асходяться три стрижні і шарнір знімає два зв'язки.

а) статично невизначена - сім; б) - три; в) - чотири; г) - три; е) - дванадцять,
ж) - сім, д) - три, і) - тринадцять разів статично невизначена

Рис.6.Приклади рамних конструкцій:

в) Якби шарнір Авідсутня, система була б чотири рази зовнішнім чином і три рази внутрішнім чином статично невизначеною, тобто всього сім разів. Шарнір Азнімає число зв'язків, на одиницю менше числа стрижнів, що сходяться в ньому, тобто три зв'язки. Рама чотири рази статично невизначена.

г) Рама тричі статично невизначена.

д) Зовнішні зв'язки не задовольняють умови кінематичної незмінності. Це – механізм, точніше кажучи, миттєвий механізм. Система має можливість повертатися щодо верхньої опори як жорстке ціле. Зрозуміло, що кут повороту буде невеликим. Нижній зв'язок заклиниться і буде досягнуто певного положення рівноваги, але нове положення зв'язків залежатиме від жорсткості системи. До рами не застосовні основні принципи опору матеріалів: принцип незмінності початкових розмірів та принцип незалежності дії сил.

Рис.7.модель двох збіглих шарнірів

е) Рама – просторова. Є шість додаткових зовнішніх зв'язків (зайве загортання) та шість додаткових взаємних зв'язків (замкнений контур) Система 12 разів статично невизначена.

ж) Система сім разів статично невизначена (одноразово зовнішнім чином і шість разів - внутрішнім).

з) Тут для плоскої рами не показано зовнішніх зв'язків, але дана система зовнішніх сил, що задовольняє умовам рівноваги. У такому разі домовилися вважати, що додаткових зовнішніх зв'язків немає, і становище рами у просторі вважається певним; розглядаються лише внутрішні зв'язки. Система тричі статично невизначена.

і) Тут також розглядаються лише внутрішні зв'язки, оскільки система вказаних зовнішніх сил задовольняє умови рівноваги. Потрібно підрахувати, скільки перерізів необхідно зробити в рамі, щоб, з одного боку, вона не розсипалася, а з іншого, щоб в ній не залишилося жодного замкнутого контуру. Таких перерізів слід зробити п'ять (див. рис. 6, і). Система 30 разів статично невизначена.

Лекція №38.Спосіб сил.

Найбільш широко застосовуваним у машинобудуванні загальним методом розкриття статичної невизначеності стрижневих та рамних систем є метод сил. Він у тому, що задана статично невизначена система звільняється від додаткових зв'язків як зовнішніх, і взаємних, які дія замінюється силами і моментами. Величина їх надалі підбирається те щоб переміщення у системі відповідали тим обмеженням, які накладаються на систему відкинутими зв'язками. Таким чином, за вказаного способу рішення невідомими виявляються сили. Звідси і назва "метод сил". Такий прийом не є єдиним можливим. У будівельній механіці широко застосовуються інші методи, наприклад метод деформацій, у якому за невідомі приймаються не силові чинники, а переміщення в елементах стрижневої системи.

Отже, розкриття статичної невизначеності будь-якої рами методом сил починається з відкидання додаткових зв'язків. Система, звільнена з додаткових зв'язків, стає статично определимой. Вона має назву основний системи.

а-д) модифікації основної системи
Рис.1.приклад стрижневої рами:

Для кожної статично невизначеної стрижневої системи можна підібрати, як правило, скільки завгодно основних систем. Наприклад, для рами, показаної на рис. 1, можна запропонувати основні системи, а), б),..., які отримані шляхом відкидання семи додаткових зв'язків у різних комбінаціях. Разом з тим слід пам'ятати, що не всяка система з сімома відкинутими зв'язками може бути прийнята як основна. На рис. 2 показано три приклади для тієї ж рами, в якій також відкинуто сім зв'язків, однак зроблено це неправильно, так як зв'язки, що залишилися, не забезпечують кінематичної незмінності системи, з одного боку, і статичної визначальності у всіх вузлах,- з іншого.

Рис.2.Некоректні перетворення заданої системи на основні внаслідок кінематичної змінності- а) б), або статичної означності у всіх вузлах - в)

Після того, як додаткові зв'язки відкинуто і система перетворена на статично визначальну, необхідно, як уже говорилося, ввести замість зв'язків невідомі силові фактори. У перетинах, де заборонені лінійні переміщення, вводяться сили. Там, де заборонено кутові усунення, вводяться моменти. Як у тому, так і в іншому випадку невідомі силові фактори будемо позначати X i-, де i- Номер невідомого. Найбільше значення iодно ступеня статичної невизначеності системи. Зауважимо, що для внутрішніх зв'язків сили X i, - Взаємними. Якщо у якомусь перерізі рама розрізана, то рівні та протилежні один одному сили та моменти прикладаються як до правої, так і до лівої частин системи.

а)-д) по відношенню до заданої системи
Рис.3.П'ять різновидів основних систем

Основна система, до якої прикладені всі зовнішні задані сили та невідомі силові фактори, має назву еквівалентної системи. На рис. 3 показано п'ять еквівалентних систем, які відповідають наведеним вище основним системам (рис. 1). Принцип застосування невідомих силових факторів стає зрозумілим без подальших пояснень.

Наразі залишається скласти рівняння для визначення невідомих.

Звернемося до певного конкретного прикладу. Розглянемо, наприклад, першу еквівалентну систему у складі представлених на рис. 3,4. Тим, що розглядається безпосередньо взята сім разів статично невизначена система, спільність міркувань нічого очікувати порушена.

Перейдемо тепер до складання рівнянь визначення невідомих силових чинників. Умовимося через позначати взаємне зміщення точок системи.

Рис.4.Приклад розрахунку рами а) за обраною основною системою; - б)

Перший індекс відповідає напрямку переміщення, а другий - силі, що викликала це переміщення.

У рамі в точці Авідкинуто нерухому опору. Отже, горизонтальне переміщення тут дорівнює нулю і можна записати:

Індекс 1 означає, що йдеться про переміщення у напрямку сили Х 1, а індекс [ Х 1 , Х 2 ,..., Р] показує, що переміщення визначається сумою всіх сил як заданих, так і невідомих.

Аналогічно можна записати:

Так як під величиною розуміється взаємне усунення точок, то позначає вертикальне зміщення точки Ущодо З, - горизонтальне взаємне зміщення тих же точок, є взаємне кутове зміщення перерізів Уі З. Кутовим зміщенням буде також у системі величина .

У точках Aі Dусунення є абсолютними. Але абсолютні усунення можна розглядати як усунення, взаємні з нерухомими відкинутими опорами. Тому прийняті позначення прийнятні всім перерізів системи.

Користуючись принципом незалежності дії сил, розкриємо вирази для переміщень

Аналогічним чином запишемо та інші п'ять рівнянь: кожне з доданків , які входять у рівняння, означає переміщення у бік сили з першим індексом під впливом сили, що стоїть у другому индексе. Оскільки кожне переміщення пропорційно до відповідної сили, величину можна записати в наступному вигляді:

Що стосується переміщень, і т. д., то під індексом Ррозумітимемо не просто зовнішню силу Р, а взагалі систему зовнішніх сил, яка може бути довільною. Тому величини , ,... в рівняннях залишимо незмінними.

Тепер рівняння набудуть вигляду:

Ці рівняння є остаточними і звуться канонічних рівнянь методу сил. Число їх дорівнює ступеню статичної невизначеності системи. У деяких випадках, як побачимо далі, коли є можливість відразу вказати значення деяких невідомих, кількість рівнянь, що спільно вирішуються, знижується. Залишається тепер з'ясувати, що є коефіцієнтами і як слід їх визначати. Для цього звернемося до виразу (6.1).

Якщо то

Отже, коефіцієнт це є переміщення за напрямом i-го силового фактора під дією одиничного фактора, що замінює k-й фактор. Наприклад, коефіцієнт рівняння є взаємним горизонтальним зміщенням точок. Bі З, яке виникло б у рамі, якби до неї замість усіх сил була прикладена лише одинична сила у точці А(Рис. 5 а). Якщо, наприклад, замість сил приклавши одиничні сили, а всі інші сили з еквівалентної системи зняти (рис. 5 б), то кут повороту в перерізі Dпід дією цих сил буде горизонтальне переміщення в точці Абуде і т.д.

а) , б) і
Рис.5.Інтерпретація коефіцієнтів рівнянь методу сил:

Досить істотно відзначити, що в зробленому висновку зовсім не визначається те, яким чином виникають переміщення. Хоча ми й розглядаємо раму, що працює на вигин, все сказане з рівним успіхом може бути віднесено, взагалі, до будь-якої системи, що працює на кручення, розтяг і вигин або на те, інше і третє спільно.

Звернемося до інтегралів Мора. Для того щоб визначити величину, слід замість зовнішніх сил розглядати одиничну силу, що замінює k-й фактор. Тому внутрішні моменти і сили , , , , і в інтегралах Мора замінимо на , , , , і розуміючи під ними внутрішні моменти і сили від одиничного k-го фактора. У результаті отримаємо:

де , … - внутрішні моменти та сили, що виникають під дією i-го одиничного фактора Таким чином, коефіцієнти виходять як результат перемноження i-го та k-го внутрішніх одиничних силових факторів Індекси iі kбезпосередньо вказують, які фактори мають бути перемножені під знаком інтегралів Мору. Якщо рама складається з прямих ділянок і можна користуватися правилом Верещагіна, то є результатом перемноження i-х одиничних епюр на k-е поодинокі епюри.

Очевидно, що

Це випливає, з одного боку, безпосередньо з виразів для , а з іншого боку, з теореми про взаємність переміщень, оскільки переміщення і виникають під дією однієї і тієї ж сили, що дорівнює одиниці.

Величини , що входять у канонічні рівняння, являють собою переміщення у напрямках 1, 2,..., що виникають під дією заданих зовнішніх сил в еквівалентній системі. Вони визначаються перемноженням епюри моментів заданих сил відповідні одиничні епюри.

Приклад Розкрити статичну невизначеність і побудувати епюру моментів, що згинають для рами, показаної на рис. 6.

Рис.6.Задана розрахункова схема

Рама тричі статично невизначена. Вибираємо основну систему, відкидаючи ліве загортання. Дію закладення замінюємо двома силами, і моментом і визначаємо еквівалентну систему (рис. 7).

Рис.7.Динаміка рішення: від еквівалентної системи та силової епюри Р, включаючи епюри моментів від одиничних сил: 1, 2, 3 у точках докладання невідомих , ,

Канонічні рівняння (6.2) приймають для аналізованої системи такий вид:

Основні переміщення в рамі, що розглядається, визначаються вигином. Тому, нехтуючи зсувом і стиском стрижнів, будуємо епюри згинальних моментів від заданої сили Pта від трьох одиничних силових факторів (рис. 7).

Визначаємо коефіцієнти рівнянь, вважаючи, що жорсткість на згин всіх ділянок рами постійна і рівна EJ. Величина визначається перемноженням першої одиничної епюри на себе. Для кожної ділянки береться, отже, площа епюри і множиться на ординату цієї епюри, що проходить через її центр тяжкості:

Зауважимо, що величини завжди позитивні, оскільки площі епюр і ординати мають загальний знак.

, , , , , , , .

Підставляємо знайдені коефіцієнти у канонічні рівняння. Після скорочень отримуємо:

, ,

Вирішуючи ці рівняння, знаходимо:

Розкриття статичної невизначеності у цьому закінчується.

Рис.8.Сумарна епюра згинальних моментів.

Епюра згинальних моментів може бути отримана накладенням на епюру моментів заданих сил трьох одиничних епюр, збільшених відповідно в , і рази Сумарна епюра згинальних моментів представлена ​​на рис. 8. Там же пунктиром показано форму вигнутої осі рами.

Лекція №39.Розрахунок товстостінних циліндрів.

У тонкостінних циліндричних резервуарах, підданих внутрішньому тиску, цілком можливо при обчисленнях вважати напруги рівномірно розподіленими по товщині стінки. Це припущення мало відгукується точності розрахунку.

У циліндрах, у яких товщина стінок мала в порівнянні з радіусом, подібне припущення повело б до великих похибок. Розрахунок таких циліндрів дано Ляме і Гадоліна в 1852 - 1854 рр.. p align="justify"> Роботи російського академіка А. В. Гадоліна в області розрахунку кривих стрижнів у застосуванні до розрахунку міцності артилерійських знарядь створили йому світову популярність. Вітчизняні артилерійські заводи (і багато закордонних) досі проектують та виготовляють знаряддя, користуючись дослідженнями Гадоліна.

На Рис.1 зображено поперечний переріз товстостінного циліндра із зовнішнім радіусом, внутрішнім; циліндр підданий зовнішньому та внутрішньому тиску.

Рис.1.Розрахункова схема товстостінного циліндра.

Розглянемо дуже вузьке кільце матеріалу радіусом усередині стінки циліндра. Товщину кільця позначимо. Нехай АВзображує невелику частину цього кільця, що відповідає центральному куту.

Розмір виділеного елемента, перпендикулярний площині креслення, візьмемо рівним одиниці. Нехай і будуть напруги, що діють по внутрішній та зовнішній поверхнях елемента АВ, a - напруги з його бокових граней. По симетрії перерізу циліндра та діючого навантаження елемент АВперекошуватись не буде, і дотичні напруги по його межах будуть відсутні. За межами елемента AB, що збігається з площиною креслення, діятиме третя головна напруга, викликана тиском на днище циліндра. Цю напругу можна вважати постійною по всіх точках поперечного перерізу циліндра.

(1)

Умова рівноваги дала лише одне рівняння для знаходження двох невідомих напруг. Завдання статично невизначене, і необхідно звернутися до розгляду деформацій. Деформація циліндра полягатиме в його подовженні та в радіальному,переміщення всіх точок його поперечних перерізів. Назвемо радіальне переміщення точок внутрішньої поверхні елемента, що розглядається через u(Мал.3). Точки зовнішньої поверхні перемістяться по радіусу на іншу величину; таким чином, товщина drвиділеного елемента збільшиться на du, та відносне подовження матеріалу в радіальному напрямку

R і підставимо в нього значення і міцність циліндра визначається цими останніми. Застосовуючи третю теорію міцності (максимальних дотичних напруг), отримуємо, що найбільша різниця основних напруг, рівна (для випадку)

(11)

Рис.3.Розподіл напруг по товщині циліндра при

буде мати місце в точках внутрішньої поверхні циліндра і завжди буде по абсолютній величині значно більшим від внутрішнього тиску.

Стрижневі системи, опорні реакції та внутрішні силові фактори в яких не можуть бути знайдені з одних лише рівнянь рівноваги, називаються статично невизначеними.

Різниця між числом шуканих невідомих зусиль та незалежних рівнянь рівноваги визначає ступінь статичної невизначеності системи. Ступінь статичної невизначеності завжди дорівнює числу надлишкових (зайвих) зв'язків, видалення яких перетворює статично невизначену систему на статично визначену геометрично незмінну систему. Надлишковими можуть бути як зовнішні (опорні) зв'язки, так і внутрішні, що накладають певні обмеження на переміщення перерізів системи один щодо одного.

Геометрично незмінноюназивається така система, зміна форми якої можлива лише у зв'язку з деформаціями її елементів.

Геометрично змінюєтьсяназивається така система, елементи якої можуть переміщатися під впливом зовнішніх сил без деформації (механізм).

Зображена на рис. 12.1 рама має сім зовнішніх (опорних) зв'язків. Для визначення зусиль у цих зв'язках (опорних реакцій) можна скласти лише три незалежні рівняння рівноваги. Отже, дана система має чотири надлишкові зв'язки, а це означає, що вона чотири рази статично невизначена. Таким чином, ступінь статичної невизначеності для плоских рам дорівнює:

де R- Число опорних реакцій.

Контур, що складається з ряду елементів (прямих або криволінійних), жорстко (без шарнірів) пов'язаних між собою і утворюють замкнутий ланцюг, називається замкнутим . Прямокутна рама, зображена малюнку 12.2, є замкнутий контур. Вона тричі статично невизначена, тому що для перетворення її на статично визначну необхідно перерізати один з її елементів і усунути три зайві зв'язки. Реакціями цих зв'язків є: поздовжня сила, поперечна сила та згинальний момент, що діють у місці розрізу; їх не можна визначити за допомогою рівнянь статики. В аналогічних умовах у сенсі статичної невизначеності знаходиться будь-який замкнутий контур, який завжди тричі статично невизначений.

Включення шарніра у вузол рами, в якій сходяться два стрижні, або постановка його в будь-яке місце на осі стрижня знімає один зв'язок і знижує загальний ступінь статичної невизначеності на одиницю. Такий шарнір називається одиночним чи простим (рис. 12.3).

Загалом кожен шарнір, включений у вузол, що з'єднує cстрижнів, знижує ступінь статичної невизначеності на c-1 , оскільки такий шарнір замінює c-1 одиночних шарнірів (рис. 12.3). Таким чином, ступінь статичної невизначеності системи за наявності замкнутих контурів визначається за формулою.

Статично невизначеною називається така система, яка може бути розрахована з допомогою лише рівнянь статики, оскільки має зайві зв'язку. Для розрахунку таких систем складаються додаткові рівняння, що враховують деформацію системи.

Статично невизначені системимають ряд характерних рис:

1. Статично невизначеніконструкції є більш жорсткими, ніж відповідні статично визначні, тому що мають додаткові зв'язки.
2. У статично невизначенихсистемах виникають менші внутрішні зусилля, що визначає їх економічність порівняно з статично визначними системами при однакових зовнішніх навантаженнях.
3. Порушення зайвих зв'язків у статично невизначеноюсистема не завжди призводить до руйнування, в той час як втрата зв'язку в статично визначеноюсистемі робить її геометрично змінюваною.
4. Для розрахунку статично невизначенихсистем необхідно задаватися геометричними характеристиками поперечних перерізів елементів, тобто. фактично їх формою та розмірами, оскільки їх зміна призводить до зміни зусиль у зв'язках та нового розподілу зусиль у всіх елементах системи.
5. При розрахунку статично невизначенихсистем необхідно заздалегідь вибрати матеріал конструкції, тому що необхідно знати його модулі пружності.
6. У статично невизначенихсистемах температурний вплив, осад опор, неточності виготовлення та монтажу викликають появу додаткових зусиль.

Основними методами розрахункустатично невизначенихсистем є:

1. Метод сил. Тут як невідомі розглядаються зусилля – сили та моменти.
2.Метод переміщень.Невідомими є деформаційні фактори – кути поворотів та лінійні усунення.
3.Змішаний метод.Тут частина невідомих є зусилля, а інша частина – переміщення.
4. Комбінований метод.Використовується для розрахунку симетричних систем на несиметричні навантаження. Виявляється, що на симетричну складову заданого навантаження систему доцільно розраховувати методом переміщень, а на зворотно-симетричну складову – методом сил.
Крім зазначених аналітичних методів при розрахунку особливо складних систем використовуються різні чисельні методи.

Канонічні рівняння методу сил

Для отримання додаткових рівнянь, про які йшлося у попередньому параграфі, потрібно перш за все перетворити задану, n разів статично невизначенусистему, статично визначальну, вилучивши з неї зайві зв'язки. Отримана статично визначальна система називається Основний.Зазначимо, що перетворення заданої системи на статично визначальну не є обов'язковим. Іноді використовується модифікація методу сил, у якій основна система може бути статично невизначеноюПроте викладення цього питання виходить за рамки цього посібника. Усунення будь-яких зв'язків не змінює внутрішні зусилля та деформації системи, якщо до неї докласти додаткові сили та моменти, які є реакції відкинутих зв'язків. Значить, якщо до основної системи додати задане навантаження та реакції віддалених зв'язків, то основна та задана системи стануть еквівалентними.

У заданій системі за напрямами наявних жорстких зв'язків, у тому числі і тих зв'язків, які відкинуті при переході до основної системи, переміщень бути не може, тому і в основній системі переміщення за напрямками відкинутих зв'язків повинні дорівнювати нулю. А для цього реакції відкинутих зв'язків повинні мати певні значення.

Умова рівності нулю переміщення за напрямом будь-якого i-го зв'язку з n відкинутих на підставі принципу незалежності дії сил має вигляд:

де перший індекс означає напрямок переміщення та номер відкинутого зв'язку, а другий вказує на причину, що викликала переміщення, тобто. - це переміщення за напрямом i-го зв'язку, викликане реакцією k-ого зв'язку; - переміщення за напрямом i-ого зв'язку, викликане одночасною дією всього зовнішнього навантаження.

У способі сил реакцію k-ой зв'язку прийнято позначати через Xk. З урахуванням цього позначення і з справедливості закону Гука переміщення можна представити у вигляді:

де - одиничне (чи питоме) переміщення у напрямку i-ой зв'язку, викликане реакцією тобто. реакцією, що збігається у напрямку Xk, але рівної одиниці.

Підставляючи (2) до (1), отримаємо:

Фізичний змістрівняння (3): переміщення в основній системі за напрямом i-ого відкинутого зв'язку дорівнює нулю.

Записуючи вирази, аналогічні (3), для всієї сукупності відкинутих зв'язків, отримаємо систему канонічних рівняньметоду сил:

Вигляд рівняння (4), тобто. кількість доданків у кожному їх та їх загальне число, визначається лише ступенем статичної невизначеності системи та залежить від її конкретних особливостей.

Коефіцієнти системи канонічних рівнянь (4) визначаються методом Мора-Верещагіна шляхом перемноження відповідних епюр. Всі ці коефіцієнти, як зазначалося вище, є переміщення; коефіцієнти, що стоять за невідомих – поодинокі переміщення, а вільні члени – вантажні.Поодинокі переміщення діляться на головні,розташовані по головній діагоналі і мають однакові індекси та побічні(). Головні переміщення завжди позитивні, на відміну побічних. Симетрично розташовані переміщення відповідно до теореми про взаємність переміщень рівні одне одному, тобто. .

Алгоритм розрахунку методом сил

Незалежно від особливостей даної конструкції, можна виділити наступну послідовність розрахунку статично невизначених систем методом сил:

1. Визначити ступінь статичної невизначеності.
2. Вибрати основну систему.
3. Сформувати еквівалентну систему.
4. Записати систему канонічних рівнянь.
5. Побудувати одиничні та вантажні епюри внутрішніх силових факторів, що виникають в елементах конструкції, що розглядається.
6. Обчислити коефіцієнти при невідомих та вільних членах системи канонічних рівнянь.
7. Побудувати сумарну одиничну епюру.
8. Виконати універсальну перевірку коефіцієнтів за невідомих та вільних членів.
9. Вирішити систему (4), тобто. визначити реакції зайвих зв'язків.
10. Побудувати епюри внутрішніх силових факторів, що виникають для заданої системи (інакше кажучи, остаточні епюри).
11. Виконати статичну та кінематичну перевірки.
Зазначимо, що пункти 7, 8, 11 наведеного алгоритму є безумовно необхідними, хоча дозволяють контролювати правильність виконання розрахунку. А для систем з одним зайвим зв'язком пункти 7 і 8 просто позбавлені сенсу, тому що в цьому випадку сумарна одинична епюра збігається з одиничною.
Зупинимося докладніше на деяких із перерахованих вище етапів розрахунку.

Вибір основної системи

Це найважливіший етап розрахунку, оскільки раціональний вибір основної системи значно спрощує обчислювальну роботу. Розглянемо можливі способи видалення зайвих зв'язків, що визначає вид основної системи.

1. Відкидання зайвих зв'язків здійснюється повним видаленням деяких опор або їх заміною опорами з меншою кількістю зв'язків. Реакції, які у напрямах відкинутих зв'язків, є зайвими невідомими. На рис.1,б, г показані різні варіанти еквівалентної системи, отримані цим способом для рами (рис.1,а).

2. Постановка шарнірів у проміжних перерізах стрижнів дозволяє в кожному такому перерізі встановити зв'язок, відповідний згинальний момент. Ці моменти є зайвими невідомими. Для рами, що має ступінь статичної невизначеності n = 3 (рис.2, а), при виборі основної системи необхідно поставити три шарніри. Положення цих шарнірів може бути довільним, але таким, що задовольняє вимогу геометричної незмінності системи (рис.2, б).

3. Розтин стрижня усуває три зв'язки, що відповідають внутрішнім зусиллям M, Q, N (рис.2,в). У окремих випадках (рис.2,г) розтин стрижня по шарніру звільняє два зв'язку (рис.2,д), а розтин прямолінійного стрижня з шарнірами по кінцях – одну зв'язок (рис.2,е).

Серед зв'язків статично невизначеної системи розрізняють абсолютно необхідні та умовно необхідні. До абсолютно необхідних відносяться зв'язки, при видаленні яких система стає геометрично змінюваною. Для абсолютно необхідного зв'язку характерна статична визначальність зусилля у ній, тобто. реакція такого зв'язку може бути обчислена за умови рівноваги. При виборі основної системи абсолютно необхідних зв'язків відкидати не можна.

Зв'язки, при видаленні яких система продовжує залишатися геометрично незмінною, називають умовно необхідними. Система, у якої видалили такий зв'язок, може бути основною системою методу сил.

Обчислення коефіцієнтів та вільних членів канонічних рівнянь

Цьому етапу розрахунку передує побудова одиничних та вантажних епюр внутрішніх силових факторів (для балок та рам – епюр згинальних моментів). Поодинокі епюри будуються від дії безрозмірної одиничної сили або безрозмірного одиничного моменту, що збігаються у напрямку з напрямком відповідної зайвої невідомої в еквівалентній системі, і позначаються через , а одинична епюра – через .

Вантажна епюра будується від зовнішнього навантаження, що додається до основної системи. При цьому можна будувати одну епюру від одночасної дії всіх зовнішніх навантажень або кілька епюр, окремо від кожного з навантажень, що додаються. Таке розбиття однієї вантажної епюри на кілька більш простих, як правило, доцільно тільки тоді, коли серед навантажень, що діють, є рівномірно розподілена, і епюра моментів на відповідній ділянці під нею є знакозмінною. При цьому в кожному канонічному рівнянні кількість вільних членів дорівнюватиме кількості побудованих вантажних епюр.

Одиничні та вантажні переміщення (коефіцієнти та вільні члени канонічних рівнянь) у загальному випадку можна обчислити методом Мора. Для балок та рам це можна зробити за допомогою правила Верещагіна.

Універсальна перевірка коефіцієнтів та вільних членів канонічних рівнянь

Для виконання універсальної перевірки необхідно побудувати сумарну одиничну епюру - епюру моментів від одночасної дії всіх одиничних сил, що додаються до основної системи:

Перемножимо сумарну одиничну епюру з епюрою:

Таким чином результат перемноження сумарної та i-ої одиничної епюр - це переміщення за напрямом i-го зв'язку від спільної дії одиничних зайвих невідомих. Це переміщення дорівнює сумі коефіцієнтів i канонічного рівняння:

Така перевірка називається рядковийта виконується для кожного канонічного рівняння.
Замість n рядкових перевірок найчастіше виконується одна – універсальна перевірка,яка полягає у перемноженні сумарної одиничної епюри самої на себе та перевірці умови:

Якщо універсальна перевірка виконується, то поодинокі переміщення обчислені правильно; якщо ні – необхідно виконати рядкові перевірки, що дозволить уточнити переміщення, при обчисленні якого допущено помилку.

Для виконання перевірки вантажних переміщень необхідно перемножити сумарну одиничну та вантажну епюри згинальних моментів:

Отже, перевірка вільних членів системи канонічних рівнянь (4) полягає у виконанні умови.